我要一次又一次地說(shuō)明，所謂的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)稱為數(shù)學(xué)發(fā)明更為確切?！返戮S希·維特根斯坦

維特根斯坦反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“我要一次又一次地說(shuō)明，所謂的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)稱為數(shù)學(xué)發(fā)明更為確切?！本S特根斯坦認(rèn)為，不論是數(shù)學(xué)實(shí)體還是數(shù)學(xué)真理都是數(shù)學(xué)家的發(fā)明而非發(fā)現(xiàn)。

實(shí)際上，這觸及了所有數(shù)學(xué)家不肯正視的話題：所謂數(shù)學(xué)和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性——有些人愿意稱作為理性，不過(guò)是人類發(fā)明的一種語(yǔ)言體系。

古人創(chuàng)造數(shù)學(xué)這門語(yǔ)言的目的，是嘗試描述藏在世界背后的真相并獲得實(shí)用價(jià)值，但是，人類最后能否找到這種真相，或是精確描述該真相，卻和我們運(yùn)用的語(yǔ)言本身的嚴(yán)謹(jǐn)與否，沒(méi)有直接關(guān)系。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，是獲得真理更重要，還是獲得真理的證明更重要？當(dāng)然，如果真理的價(jià)值就在于其是否為真，那么，對(duì)真理的證明當(dāng)然重要。我們?cè)诤醯氖怯缅N子做成的椅子，而不是錘子本身或者做椅子的過(guò)程，雖然錘子和過(guò)程會(huì)影響做出的椅子。

然而，我們除了檢查錘子本身的結(jié)構(gòu)或做椅子的過(guò)程，從內(nèi)部來(lái)證明做成的椅子是同一的椅子，也就是正確的“椅子”，我們還可以，或更多地是直接從外部檢查做成的這把椅子是否有用、是否一樣。在這里，所謂正確，即內(nèi)部（結(jié)構(gòu)、過(guò)程）同一。

特斯拉的車，無(wú)論在美國(guó)還是上海生產(chǎn)，無(wú)論是5年前還是現(xiàn)在生產(chǎn)，工廠內(nèi)部只要按照相同（即正確的）數(shù)字標(biāo)準(zhǔn)，相同的（即正確的）生產(chǎn)過(guò)程，就能生產(chǎn)出相同的汽車商品。

因而，數(shù)學(xué)中那些看上去天經(jīng)地義不可置疑的東西（比如三角形任意兩邊之和大于第三邊），并非新增了某個(gè)關(guān)于世界的事實(shí)，而只是換了一種說(shuō)法（任意兩邊之和大于第三邊其實(shí)就包含在對(duì)三角形的定義中）。

維特根斯坦說(shuō)，“數(shù)學(xué)僅僅是一門語(yǔ)言，并不嚴(yán)密更不神秘。”而依照維特根斯坦著名的“語(yǔ)言游戲論”來(lái)推論，那么，作為一種語(yǔ)言的數(shù)學(xué)，也不過(guò)是一種游戲而已。

因此，數(shù)學(xué)只是一種語(yǔ)言游戲，但為何卻如此有用？

雖然從數(shù)學(xué)（數(shù)量）上，變來(lái)變?nèi)ィ际且粯拥?，看起?lái)沒(méi)有什么意義，就像玩游戲一樣。然而 ，物體不只有數(shù)量這一種性質(zhì)。

例如，1x6方格組成的長(zhǎng)方體，與2x3方格組成的長(zhǎng)方體，從數(shù)量上是一樣的，從數(shù)量上是一樣的，但是，1x6長(zhǎng)方體可以從1格的小洞中出來(lái)，2x3長(zhǎng)方體則不行。就像我們?nèi)粘Ｉ钪械脑⒀?，長(zhǎng)竹竿橫豎都出不了門，只有直著才能出門。正是，這種2x3到1x6的變化，單從數(shù)量這個(gè)性質(zhì)上看，像是一種游戲，非常無(wú)聊。

然而，卻解決了問(wèn)題，非常有用。為什么？

雖然長(zhǎng)方體從數(shù)量上沒(méi)有變化，但是，從形狀上有了改變，從而，讓這種無(wú)聊的不變有了意義。

不過(guò)，這種有意義并非從數(shù)學(xué)本身內(nèi)部產(chǎn)生，而是來(lái)自數(shù)學(xué)之外。

但反過(guò)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)特別之處，或者說(shuō)特別有價(jià)值的地方，就在于變來(lái)變?nèi)ミ€能保持?jǐn)?shù)量上的一致，即準(zhǔn)確。

數(shù)學(xué)的這種一致，帶來(lái)的最大作用，首先體現(xiàn)在人類文明通過(guò)數(shù)學(xué)的分割，可進(jìn)行多人多年的合作，而讓人類文明成果有所累積，不拘于一人一世。

數(shù)學(xué)作為人類實(shí)踐工具的強(qiáng)大有效，并不是來(lái)源于其天然的永恒正確，而恰恰相反，是來(lái)自于其對(duì)于現(xiàn)實(shí)的某種曲解，對(duì)現(xiàn)實(shí)不同程度的分解與簡(jiǎn)化。這種分解與簡(jiǎn)化，讓人類的實(shí)踐可以累積與合并，從而帶來(lái)持續(xù)的和規(guī)模上的實(shí)踐成果。

遵循數(shù)學(xué)的方式，讓人類的努力，在一時(shí)一事中遵循數(shù)字顯得僵死愚笨，而在百世千代的事業(yè)中則顯出輝煌偉力。這一點(diǎn)，可以從親近數(shù)字并奉數(shù)學(xué)為皋臬的商業(yè)與科學(xué)一日千里的發(fā)展，而其他人文學(xué)科則循環(huán)徘徊難有長(zhǎng)進(jìn)。

歷史學(xué)家黃仁宇認(rèn)為中國(guó)古代社會(huì)長(zhǎng)期未能實(shí)現(xiàn)大突破，始終難以走出歷史的循環(huán)，至近代更是落后于西方，關(guān)鍵在于中國(guó)始終未能實(shí)現(xiàn)“數(shù)目字管理”，便是直覺(jué)到了數(shù)學(xué)的巨大威力。

【書單推薦】

這5本書讓你三分鐘了解數(shù)學(xué)。

只要你為你的生命駐足一刻，就可以和數(shù)學(xué)來(lái)一次親密接觸。

《最后的數(shù)學(xué)問(wèn)題》

作者: [美]馬里奧·利維奧（Mario Livio）

出版社: 人民郵電出版社

譯者: 黃征

出版年: 2019-8

人類思想史上每一次突破性發(fā)展，幾乎都與數(shù)學(xué)史上的大發(fā)展息息相關(guān)，他們的共同特點(diǎn)都是沖破各種阻力，打破現(xiàn)實(shí)桎梏，解放禁錮的思想。

笛卡爾發(fā)明解析幾何，將幾千年來(lái)的幾何與毫不相關(guān)的算術(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)。而黎曼幾何的發(fā)明，又沖擊了當(dāng)時(shí)的整個(gè)幾何與數(shù)學(xué)體系，甚至包括哲學(xué)體系，因?yàn)橹恼軐W(xué)家康德就是以歐幾里德幾何為一切理性批判的基礎(chǔ)。

其實(shí)不僅僅數(shù)學(xué)，其他學(xué)科（如物理學(xué)）和其他領(lǐng)域（如互聯(lián)網(wǎng)）也同樣是這樣的。數(shù)學(xué)的形式是人類發(fā)明的，而數(shù)學(xué)的本質(zhì)是人類發(fā)現(xiàn)的。

這本書講述了數(shù)學(xué)的演化過(guò)程，從科學(xué)、哲學(xué)、歷史、文化角度全方位地探討了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)與物質(zhì)世界、與人類思維之間的微妙關(guān)系。

《數(shù)學(xué)與生活（修訂版）》

作者: [日] 遠(yuǎn)山啟

出版社: 人民郵電出版社

譯者: 呂硯山 / 李誦雪 / 馬杰 / 莫德舉

出版年: 2014-10

這本書貫通多學(xué)科知識(shí)，結(jié)合日常生活和東西方各國(guó)膾炙人口的故事，用通俗易懂的語(yǔ)言，將數(shù)學(xué)知識(shí)和原理交織呈現(xiàn)，猶如一本有趣的故事書。

讀者從中不但了解了數(shù)學(xué)的風(fēng)貌，而且也能懂得數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，及其與物理學(xué)、化學(xué)、天文地理乃至音樂(lè)、美術(shù)等學(xué)科的關(guān)聯(lián)。

數(shù)學(xué)可以讓我們更好地思考：它可以磨練我們的直覺(jué)，讓我們的判斷更敏銳，它還可以馴服不確定性，讓我們更深入地了解世界的結(jié)構(gòu)和邏輯。

擁有了數(shù)學(xué)工具，我們就可以把那些我們想當(dāng)然的事情看得更透徹，從而做出正確的決策。

《萬(wàn)物皆數(shù)》

作者: [法] 米卡埃爾·洛奈（Micka?l Launay）

出版社: 低音·北京聯(lián)合出版公司

譯者: 孫佳雯

出版年: 2018-12

數(shù)學(xué)無(wú)處不在的威力從何而來(lái)？

數(shù)學(xué)所揭示的真理是人類的發(fā)現(xiàn)，但描述這些真理的文字體系（符號(hào)體系等）則是人類的發(fā)明。

這本書的格局之大令人驚艷，它將數(shù)學(xué)的歷史一下子向前推到了史前時(shí)代。

我們看到了史前人類對(duì)幾何之美的本能追求，看到了古文明時(shí)代的人們?nèi)绾巍鞍l(fā)明”數(shù)學(xué)以適應(yīng)不斷發(fā)展的生產(chǎn)資料和日常生活，看到了古代賢明君王對(duì)數(shù)學(xué)以及其他自然科學(xué)的維護(hù)和推崇。

愿讀者憑借此書發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本原之美，發(fā)現(xiàn)美的本原源于數(shù)學(xué)。

《數(shù)學(xué)世界的探奇之旅》

作者: 布賴恩·克萊格 (Brian Clegg)

出版社: 中信出版社

譯者: 胡小銳

出版年: 2017-10-1

這本書講述了抽象的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。從數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯那里，我們知道220和284堪稱數(shù)學(xué)界的羅密歐與朱麗葉；阿基米德試圖計(jì)算出能夠填滿整個(gè)宇宙的沙粒數(shù)量，因此顛覆了原本基于現(xiàn)實(shí)的數(shù)字系統(tǒng)；由于統(tǒng)計(jì)和概率的發(fā)展以及對(duì)人壽命的預(yù)期的研究，保險(xiǎn)業(yè)應(yīng)運(yùn)而生。

數(shù)學(xué)始終在現(xiàn)實(shí)世界和抽象世界之間游走，它產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí)生活，發(fā)展成解決統(tǒng)計(jì)、概率、物理等學(xué)科問(wèn)題的工具，直到對(duì)黑洞存在的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)以及量子物理學(xué)的誕生。在數(shù)學(xué)創(chuàng)造的神秘世界中，猶如脫韁的野馬，越來(lái)越讓人看不懂。

這本書為你找到它與現(xiàn)實(shí)連接的痕跡，文科生也能看懂的直白講述打破你對(duì)數(shù)學(xué)的固有成見，數(shù)學(xué)不再是你看不懂的公式，你可以在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的妙用。

《魔鬼數(shù)學(xué)》

作者: [美] Jordan Ellenberg

出版社: 中信出版集團(tuán)

譯者: 胡小銳

出版年: 2015-9-5

數(shù)學(xué)與我們所做的每一件事都息息相關(guān)。

你應(yīng)該提前多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)機(jī)場(chǎng)？為什么父母都是高個(gè)子，孩子的身高卻比較矮？用什么策略買彩票才能中大獎(jiǎng)？

數(shù)學(xué)是一門告訴我們“如何做才不會(huì)犯錯(cuò)”的科學(xué)，可以幫助我們洞見在混沌和嘈雜的表象之下日常生活的隱性結(jié)構(gòu)和秩序。

這本書運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析和解決了很多的日常生活問(wèn)題，幫助數(shù)學(xué)門外漢習(xí)得用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題的技能。